五年级数学思维训练模拟题目及答案讲解：同余问题

同余问题

求143⁸⁹除以7的余数。

解： 同余的性质能使"大数化小"，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。

解法1：∵143≡3（mod7）

∴143⁸⁹≡3⁸⁹（mod 7）

∵89＝64+16+8+1

而3²≡2（mod 7），

3⁴≡4（mod7），

3⁸≡16≡2（mod 7），

3¹⁶≡4（mod 7），

3³²≡16≡2（mod 7），

3⁶⁴≡4（mod 7）。

∵3⁸⁹≡3⁶⁴·3¹⁶·3⁸·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），

∴143⁸⁹≡5（mod 7）。

答：143⁸⁹除以7的余数是5。

解法2：证得143⁸⁹≡3⁸⁹（mod 7）后，

3⁶≡3²×3⁴≡2×4≡1（mod 7），

∴3⁸⁴≡（3⁶）14≡1（mod 7）。

∴3⁸⁹≡3⁸⁴·3⁴·3≡1×4×3≡5（mod 7）。

∴143⁸⁹≡5（mod 7）。