一、基本概念和知识
1.奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，
奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，
奇数×奇数=奇数。
习题：
1.有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？
2.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？
3.求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。
4.把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。
5.如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通话次数是奇数的那些人的总数为____。
（A）必为奇数，（B）必为偶数，
（C）可能是奇数，也可能是偶数。
6.一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。
7.有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7.你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20？为什么？
8.有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？
9.电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即前、后、左、右）一人交换位置.问：这种交换方法是否可行？
10.由14个大小相同的方格组成下列图形（右图），请证明：不论怎样剪法，总不能把它剪成7个由两个相邻方格组成的长方形。
习题答案：
1.偶数至多有48个。
2.提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。
3.设四个连续奇数是2n＋1，2n＋3，2n＋5，2n＋7，n为整数，则它们的和是
（2n+1）＋（2n＋3）＋（2n＋5）+（2n＋7）
＝2n×4＋16＝8n+16=8（n+2）。
所以，四个连续奇数的和是8的倍数。
4.证明：设填入数分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6.有
假设要证明的结论不成立，则有：
∵偶数≠奇数，∴假设不成立，命题得证。
5.应选择（B）.参考例3。
6.是偶数.参考例3。
7.不能.因为5个奇数的和为奇数，不可能等于20。
8.能.例如
第一次 78910
第二次 3456
第三次 2345
第四次 13 45
9.这种交换方法是不可行的.参考例12。
10.利用黑白相间染色方法可以证明：不可能剪成由7个相邻两个方格组成的长方形，因为图形中一种颜色有8格，另一种颜色有6格，而每个相邻两个方格组成的长方形是一黑格一白格，7个这样的长方形共7黑格7白格.与图形相矛盾.
