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同学你好。
1.  한국이라는 나라 这里扩展开来是한국이라고 하는 나라；
-라는是-라고 하는的缩写形式，-(이)라고 하다是表示间接引用的，接续在名词之后使用；
然后-는这里是冠形词形，相当于汉语的定语形式，表示--的。
한국이라는 나라理解为叫做韩国的国家。

2. 내게这里是나에게的缩写形式，에게表示动作涉及的对象；
然后助词는这里是表示强调的；

3. 먼 나라这里的먼是멀다的冠形词形，由멀다+ㄴ构成的；
멀다是单词原形，表示远，遥远的意思；http://dict.hjenglish.com/kr/멀다
变成冠形词形时候，形容词有收音的加은，无收音的形容词加ㄴ；
멀다比较特殊，是以收音ㄹ结尾的，视为无收音。
所以멀다+ㄴ，然后这里发生了特殊变化：
以ㄹ为收音的动词或形容词，遇到以ㄴ/ㅂ/ㅅ开头的词尾时，产生脱落现象。
所以멀다+ㄴ→머+ㄴ→먼；
关于形容词的冠形词形的用法，可以参考这里：http://kr.hujiang.com/new/p399672/

4. 였다是이다+过去时었缩写而成 的，表示曾经是的意思；
한국이라는 나라는 내게는 아주 먼 나라였다. 整句话理解为：叫做韩国的国家，对我来说曾经是很遥远的国家。
祝同学学习愉快。