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同学好，
1. Haushalt它是单数，因为家务是一个不可数的事情，就是许许多多的杂物一起整个是一个家务的概念，我们没法数一个家务两个家务，它叫做“抽象不可数名词”，这个时候我们用单数即可。Hausaufgabe是单数，复数是Hausaufgaben，作业可以有一项，也可以有很多项，所以我们可以使用复数表示有很多项，也可以使用单数来表示“作业”这个事物（笼统代指整体）。
2. 关于冠词，冠词一般指一个特定的（比如这个作业、那个作业，特定特指），或者也可以指一个大家都众所周知的事情/对象，比如der Präsident von Frankreich 法国总统（大家都知道）。不加冠词的话就是没有特指，而是笼统说这件事这个东西。因此由此来看，实际上不少情境下你可以加也可以不加，比如Haushalt machen这里，你可以加也可以不加，意思差别不大，Hausaufgaben也是同理（大家都知道什么是家务/什么是作业——>你可以加上冠词；泛泛地说做家务做作业，并不指出哪些家务哪些作业——>不加冠词），这个没有唯一答案，也不是说只有一种可能性是正确其他都是错误。