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同学你好，

dank是介词，意思是“多亏、由于、因……”
后面跟二格或三格：
- 单数情况下：跟定冠词/不定冠词/物主代词或其他代词的时候，后面跟二格：dank eines Zufalls，此处已经很少使用三格了
- 单数情况下：零冠词情况下直接跟一个形容词的时候跟三格：dank neuem Allradantrieb(新型驱动)，此处很少使用二格了
- 复数情况下：存在定冠词/不定冠词/物主代词或其他代词的时候，跟二格，很少跟三格：dank seiner Kinder
- 复数情况下：不存在任何冠词的情况下，用三格（主要是为了用复数三格名词补-n来体现dank后面变格了）：dank Fördermitteln
- 人称的话，dank后面跟三格（因为二格人称代词很少很少使用了）
- 还有一些其他乱七八糟的情况。
我认为同学见到的时候能看懂即可，自己使用的时候，作为外语学习者，在上面的各种情况下二格和三格中的哪一个都是可以被包容的。
参见Duden上：
https://www.duden.de/rechtschreibung/dank