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同学你好~
with 后面可加复合宾语，这里的the Cold War and the Soviet 是名词作with的宾语，后面的名词短语 a distant memory是宾语补足语。名词短语做宾补的用法可参考一下下面的例句加深下理解哈：
But Juli hated her, and I was going to make this little gem of knowledge the solution to my problem.
（摘自《Flipped》）
但朱莉就是不喜欢他，而我要用这件事来解决我的问题。
（这句话中 the solution to my problem 作宾补）
希望对你有帮助哈~