暑期专题辅导材料二
复习初二数学下（第十八章第十九章）
［学习目标］
（1）掌握相似图形的特征。
（2）掌握相似三角形的识别方法及相似三角形的性质。
（3）掌握勾股定理。
（4）掌握锐角三角函数的概念。
（5）能解直角三角形。
［重点、难点］
1.学习重点：
（1）相似三角形的识别方法及其性质。
（2）锐角三角函数。
2.学习难点：
（1）相似三角形的识别。
（2）解直角三角形。
【典型例题】
一.图形的相似
1.相似图形：
具有相同形状的图形称为相似图形。
相似图形的特征：对应边成比例，对应角相等。
比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线
线段，简称比例线段。
2.相似三角形：
（1）相似比：相似三角形对应边的比叫相似比。
（2）全等三角形：相似比为1的两个相似三角形是全等三角形。
（3）相似三角形的三种识别方法：
①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
②如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且其夹角相等，那么这两个三角形相似。
③如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（4）相似三角形的性质：
①对应边成比例，对应角相等。
②相似三角形面积比等于相似比的平方。
③相似三角形周长比等于相似比。
④相似三角形对应中线之比、对应高线之比、对应角平分线之比等于相似比。
例1.
（2）运用（1）中结论，解下面的题：
点评：在解与相似三角形有关的题目时，应熟练掌握比例的性质。
例2.如果一个三角形的三边长分别是3cm、4cm、5cm，和它相似的另一个三角形的最小边为21cm，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？
点评：此类题目既可以先求出两边计算周长，也可以根据周长比等于相似比来做。
例3.已知：E为平行四边形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE交BC于F，找出图中的相似三角形。
分析：这里已知四边形ABCD为平行四边形，则有两组平行线，由平行线可得三角形相似。
解：CB∥AD，得CF∥AD
知：∠ECF＝∠D
又∠CEF＝∠DEF
由三角形相似的识别方法知：△ECF∽△EDA
而由AB∥DE知：∠FAB＝∠FEC，∠AFB＝∠EFC
得：△ABF∽△ECF
同理可得：△ABF∽△EDA
点评：由常见的两种平行线可以得到三角形相似，即“A”形和“X”形，且由此题可知，三角形相似具有传递性。
例4.在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，试说明：△AFE∽△ACB。
分析：此题中有∠FAE＝∠CAB，若能再找到一个角相等即可，但实际上，这样去说明△AFE∽△ACB太困难，因而转向于通过边成比例来说明两个三角形相似。
解：在△AEB与△AFC中，∠BAE＝∠CAF，∠BFC＝∠CEB
所以△ABE∽△AFC
故AE：AF＝AB：AC
又因为在△AFE与△ACB中，∠FAE＝∠BAC
∴△AFE∽△ACB
例5.如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，若AB＝3，AC＝5，能否确定BD：CD＝3：5，请说明理由。
分析：此题直接说明较为困难，因而应该想作辅助线加以说明。
解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E
得△ABD∽△ECD
又AD是∠BAC的平分线，得：
∠BAD＝∠DAC
而CE∥AB，得∠BAD＝∠E
故∠DAC＝∠E
知AC＝CE
点评：在几何题目中，经常会遇到图形非常简单的题目，因此通常应该想到将简单图形复杂化，增加已知条件来解题，反之，若题目中图形较为复杂，则应想到将复杂图形简单化来解决题目。
例6.如图4，梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，若AE：EB＝1：2，且AD＝12，BC＝18，求EF的长。
分析：直接求解较为困难，因而应该通过转化，此处按解梯形的常规思路将其转化为平行四边形和三角形。
解：过A作AN∥DC交EF于M
易知四边形ADFM和四边形MFCN为平行四边形
有AD＝MF＝NC＝12
则BN＝6
又EM∥BN，且AE：EB＝1：2
点评：在遇到较为复杂的图形时，应将其分割为较为简单的图形，且在很多情况下，是作平行线或作高线来达到目的，而本题是通过作平行线来解题。
例7.如图5，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D，试说明：BC2＝AB?CD。
分析：由于要证明的等式是等积式，最好能通过三角形相似来得到。
解：在△ABC中，∠A＝36°，BD平分∠ABC，又AB＝AC
知∠DBC＝36°，∠BDC＝72°
故∠A＝∠DBC，∠C＝∠C
得：△BDC∽△ACB
即BC2＝AB?DC
题后反思：到目前为止，还没有学习过直接地关于线段的等积式，因而应将要证明的等积式转化成为比例式，然后证明比例式。
二.解直角三角形：
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.锐角三角函数：
（1）概念
（2）同角锐角三角函数关系
（3）互为余角的两个角的三角函数关系
若∠A＋∠B＝90°，sinA＝cosB，cosA＝sinB，tanA＝cotB，cotA＝tanB
3.特殊角的三角函数：
4.直角三角形中几种特殊关系：
（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（2）直角三角形中，斜边中线等于斜边一半。
5.解直角三角形的三种关系：
（2）锐角关系：∠A＋∠B＝90°
例1.如图6，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为AB边上的高，△ABC的周长为24，BC：AC＝3：4，求AB和CD的长。
分析：此题没有直接给出AC和BC的长度，但是给出了BC和AC的关系，因此可列出方程组求解。
解：设BC＝3a，AC＝4a，则由勾股定理得：
a＝2
又由三角形的面积公式可得：AB?CD＝AC?BC
得：CD＝4.8
点评：此题中已知的是三边关系，此类题目应将勾股定理看成一个已知的方程，列成方程组求解。
例2.如图7，已知△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，AD、AE分别是BC边上的中线和高，求△ADE三边的长及周长。
分析：此题中要求AD、AE，应通过勾股定理列出方程求解。
解：设AE＝x，EC＝y
由勾股定理：
点评：应注意在应用勾股定理时，可以将勾股定理当成方程，然后再列方程组求解，在解二元二次方程时由于勾股定理的系数为1，因而用加减消元法较简便。
例3.如图8，△ABC中，∠B＝60°，BC＝8，AB＝9，求△ABC的面积。
分析：要求△ABC的面积，应先作一条高线，然后再求面积，而由锐角三角函数知识能求得高线长，故可求得面积。
解：过A作AD⊥BC于D
故AD＝AB?sinB
又因为AB＝9，∠B＝60°
点评：此题也可用勾股定理求解。
例4.如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，AB＝50，求BD。
分析：由Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°。又知AB长，易求出CB长，在Rt△BDC中，CB长已知，∠BDC＝60°，可求BD长。
解：
又在Rt△BDC中，∠C＝90°，∠BDC＝60°
例5.如图10所示，在湖边高出水面50米的山顶A处，望见一架直升飞机停留在湖面上空某处，观察到飞机底部标志P处的仰角为45°，又观察其在湖中之像的俯角为60°，试求飞机离开湖面的高度h。（观察时湖面处于平静状态）
分析：本题须弄清仰角与俯角概念，PB⊥AC，P点在水中的像为P’，Rt△PAC中，
解：设P在水中的像为P’，则BP’＝BP＝h
小结
（1）主要复习解直角三角形和三角形相似的知识。
（2）在复习三角形相似时，应注意由平行和垂直得到的几种基本模型。
（3）在解直角三角形时，应注意多用锐角三角函数关系，找到边与角之间的联系。
