初中物理有限电阻网络的解法

 1. 等效替代

    例1  三个相同的金属圈两两正交地连成如图1所示的形状，若每个四分之一圆周金属丝的电阻为R时，测得A、B间电阻为R_AB，今将A、B间的一段金属丝改换成另一段电阻为的四分之一圆周金属丝，并在A、B间加上恒定电压U，试求消耗的总功率P。

图1

    分析  A、B间一段电阻为的四分之一圆周金属丝，可用两段电阻为R的四分之一圆周金属丝并联来替代。设替换后A、B间的总电阻为，则

    ，，。

2. 叠加

例2  如图2所示电路中，包含有50只不同的安培表，以及50只相同规格的伏特表。其中第一只伏特表的示数，第一只安培表A₁的示数，第二只安培表A₂的示数I₂=9.2mA。试求所有50只伏特表的示数之和是多少？

图2

    分析  每只伏特表的电阻

    从电路左端逐步向右推可得

    ……

    以上各式相加得

    3. 递推

例3  如图3所示，已知，，电源电压为60V，流过的电流为_______________。

图3

    分析  右端的单位网络电阻

    往左推得，

    整个网络的电阻，

    总电流

    求中的电流，可由左逐步向右推

    4. 对称

    例4  如图4（甲）所示是由9个阻值均为4Ω的电阻连成的电路，现在A、B两点之间加上8V的电压，则流过接在E、B两点之间的电阻的电流I₁为_________A，流过接在E、D两点之间电阻的电流I₂为__________A。

图4（甲）

    分析  这是一个对称电路，在不改变通过各电阻电流的前提下，可拆开某一节点，或连接部分节点，对电路进行等效变换。

    解法1  拆开节点E，如图4（乙）所示。通过E、B之间电阻的电流为

    又

    解得

    所以

图4（乙）

    解法2  将C、D间的电阻一分为二，由于电路的对称性，可将F、G、E三点连在一起，如图4（丙）所示。

图4（丙）

    设F、G、E节点与D之间的总电阻为，则

    解得

    5. 注流法

例5  图5（甲）是由均匀电阻丝焊接成的框架电路，框架由三个正方形组成，正方形每边的电阻为r，求框架A、E两点间的电阻。

图5甲

    分析  设有电流I从A点流入，从E点流出。由于电路结构对称，则电流分布也对称，如图5乙所示

图5乙

    对点H，有

    即      ①

对AC间电压有

即          ②

联立①、②解得

所以

练习

1. 如图6所示的电路，，，电源电压U恒定，则电阻所消耗的电功率与电路的总功率之比等于____________。

图6

图7

图8