初三数学第一章：二次函数

初三数学第一章：二次函数

二次函数的图像

是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 

抛物线的主要特征：

①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴；
③有顶点；
④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）

二次函数图像性质：

轴对称：

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。

a,b同号，对称轴在y轴左侧

b=0,对称轴是y轴

a,b异号，对称轴在y轴右侧

顶点：

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。

h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。

开口：

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小

决定对称轴位置的因素：

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定与y轴交点的因素:

常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于（0,C）

注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。

与x轴交点个数：

a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。

k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。

a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。

当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k

当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k

当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。