2011年重庆市江津区中考数学试题—解析版
一、选择题（共10小题）
1、（2011•江津区）2﹣3的值等于（ ）
A、1 B、﹣5 C、5 D、﹣1
考点：有理数的减法。
分析：根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．
解答：解：2﹣3=2+（﹣3）=﹣（3﹣2）=﹣1．
故选D．
点评：此题主要考查了有理数的减法，比较简单，是一个基础的题目．
2、（2011•江津区）下列式子是分式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：分式的定义。
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答：解：∵ ， +y， 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． 分母中含有字母，因此是分式．
故选B．
点评：本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式．
3、（2011•江津区）已知3是关于x的方程2x﹣a=1的解，则a的值是（ ）
A、﹣5 B、5 C、7 D、2
考点：一元一次方程的解。
专题：方程思想。
分析：首先根据一元一次方程的解的定义，将x=3代入关于x的方程2x﹣a=1，然后解关于a的一元一次方程即可．
解答：解：∵3是关于x的方程2x﹣a=1的解，
∴3满足关于x的方程2x﹣a=1，∴6﹣a=1，解得，a=5．
故选B．
点评：本题主要考查了一元一次方程的解．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
4、（2011•江津区）直线y=x﹣1的图象经过的象限是（ ）
A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限
考点：一次函数的性质。
专题：计算题。
分析：由y=x﹣1可知直线与y轴交于（0，﹣1）点，且y随x的增大而增大，可判断直线所经过的象限．
解答：解：直线y=x﹣1与y轴交于（0，﹣1）点，且k=1＞0，y随x的增大而增大，
∴直线y=x﹣1的图象经过第一、三、四象限．
故选D．
点评：本题考查了一次函数的性质．关键是根据图象与y轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限．
5、（2011•江津区）下列说法不正确是（ ）
A、两直线平行，同位角相等 B、两点之间直线最短
C、对顶角相等 D、半圆所对的圆周角是直角
考点：圆周角定理；线段的性质：两点之间线段最短；对顶角、邻补角；平行线的性质。
专题：常规题型。
分析：利用平行线的性质可以判断A；利用线段公理可以判断B；利用对顶角的性质可以判断C；利用圆周角定理可以判断D．
解答：解：A、由平行线的性质可以得到本选项正确；
B、∵两点之间线段最短，∴两点之间直线最短错误，故本选项错误；
C、利用对顶角的性质可以判断本选项C正确；
D、∵半圆或直径所对的圆周角是直角，正确．
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理及对顶角、邻补角及平行线的性质，是一道综合考查几何定理或概念的基础题，难度较小．
6、（2011•江津区）已知如图，A是反比例函数 的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（ ）
A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6
考点：反比例函数系数k的几何意义。
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= |k|．
解答：解：根据题意可知：S△AOB= |k|=3，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=6．
故选C．
点评：本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
7、（2011•江津区）某课外学习小组有5人，在一次数学测验中的成绩分别是：120，100，135，100，125，则他们的成绩的平均数和众数分别是（ ）
A、116和100 B、116和125 C、106和120 D、106和135
考点：众数；中位数。
分析：众数的定义求解；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；再利用平均数的求法得出答案．
解答：解：在这一组数据中100是出现次数最多的，故众数是100；
他们的成绩的平均数为：（120+100+135+100+125）÷5=116．
故选A．
点评：此题主要考查了众数以及平均数的求法，此题比较简单注意计算时要认真减少不必要的计算错误．
8、（2011•江津区）已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A、都相似 B、都不相似 C、只有（1）相似 D、只有（2）相似
考点：相似三角形的判定。
分析：图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得△ABC的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；
图（2）根据图形中的已知条件，即可证得 ，又由对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似．
解答：解：
如图（1）∵∠A=35°，∠B=75°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=70°，
∵∠E=75°，∠F=70°，∴∠B=∠E，∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF；
如图（2）∵OA=4，OD=3，OC=8，OB=6，∴ ，
∵∠AOC=∠DOB，∴△AOC∽△DOB．
故选A．
点评：此题考查了相似三角形的判定．注意有两角对应相等的三角形相似与对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似的定理的应用．
9、（2011•江津区）已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A、a＜2 B、a＞2 C、a＜2且a≠l D、a＜﹣2
考点：根的判别式。
专题：计算题。
分析：利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．
解答：解：△=4﹣4（a﹣1）=8﹣4a＞0得：a＜2．
又a﹣1≠0 ∴a＜2且a≠1．
故选C．
点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．
10、（2011•江津区）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是 ④四边形AnBnCnDn的面积是
．
A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④
考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题：规律型。
分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答：解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形ABCD是平行四边形；
∴B1D1=A1C1（平行四边形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5= A3B3= × A1B1= × × AB，B5C5= B3C3= × B1C1= × × BC，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2× （a+b）= ；
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是 ；故本选项错误；
综上所述，②③④正确；
故选C．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
二、填空题（共10小题）
11、（2011•江津区）今年长江中下游旱情严重，某地村民吃水都成问题，一消防大队决定支援灾区，为灾区人民送去饮用水13万吨，用科学记数法表示为 1.3×105吨．
考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：计算题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将13万用科学记数法表示为1.3×105．故答案为：1.3×105．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12、（2011•江津区）分解因式：2x3﹣x2= x2（2x﹣1） ．
考点：因式分解-提公因式法。
专题：因式分解。
分析：观察等式的右边，提取公因式x2即可求得答案．
解答：解：2x3﹣x2=x2（2x﹣1）．故答案为：x2（2x﹣1）．
点评：此题考查了提公因式法分解因式．解题的关键是准确找到公因式．
13、（2011•江津区）在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线长为5，高为6，则它的面积是 30 ．
考点：梯形中位线定理。
专题：计算题。
分析：利用梯形的中位线的定义求得两底和，在利用梯形的面积计算方法计算即可．
解答：解：∵中位线长为5，∴AD+BC=2×5=10，∴梯形的面积为： ，
故答案为30．
点评：本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质．
14、（2011•江津区）函数 中x的取值范围是 x＞2 ．
考点：函数自变量的取值范围。
专题：计算题。
分析：由于 是二次根式，同时也在分母的位置，由此即可确定x的取值范围．
解答：解：∵ 是二次根式，同时也是分母，∴x﹣2＞0，∴x＞2．
故答案为：x＞2．
点评：本题主要考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
15、（2011•江津区）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=12，sinA= ．
考点：锐角三角函数的定义。
专题：计算题。
分析：在Rt△ABC中，根据三角函数定义sinA= 即可求出．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=12，∴根据三角函数的定义得：sinA= = ，
故答案为 ．
点评：此题比较简单，考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答．
16、（2011•江津区）已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D= 150° ．
考点：圆内接四边形的性质。
分析：根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可．
解答：解：∵圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，
∴∠D=180°﹣30°=150°．
故答案为：150°．
点评：此题主要考查了圆内接四边形的性质，灵活应用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．
17、（2011•江津区）在一个袋子里装有10个球，其中6个红球，3个黄球，1个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，充分搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一球，不是红球的概率是 ．
考点：概率公式。
分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
解答：解：红球的概率：（3+1）÷10= ．故答案为： ．
点评：此题主要考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
18、（2011•江津区）将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是 y=（x﹣5）2+2或y=x2﹣10x+27 ．
考点：二次函数图象与几何变换。
专题：几何变换。
分析：先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据平移规律平移即可得到解析式．
解答：解：y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：
y=（x﹣5）2+2，
将顶点式展开得，y=x2﹣10x+27．
故答案为：y=（x﹣5）2+2或y=x2﹣10x+27．
点评：主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
19、（2011•江津区）如图，点A、B、C在直径为2 的⊙O上，∠BAC=45°，则图中阴影部分的面积等于 ．（结果中保留π）．
考点：扇形面积的计算；圆周角定理。
专题：几何图形问题；数形结合。
分析：首先连接OB，OC，即可求得∠BOC=90°，然后求得扇形OBC的面积与△OBC的面积，求其差即是图中阴影部分的面积．
解答：解：连接OB，OC，
∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，
∵⊙O的直径为2 ，∴OB=OC= ，
∴S扇形OBC= = π，S△OBC= × × = ，
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC= π﹣ ．故答案为： π﹣ ．
点评：此题考查了圆周角的性质，扇形的面积与直角三角形面积得求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
20、（2011•江津区）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 ．
考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质。
专题：探究型。
分析：设E（x，y），连BE，与OB交于E，作EF⊥AB，由面积法可求得BG的长，在Rt△AEF和Rt△EFB中，由勾股定理知：AF=AE2﹣EF2=BE2﹣BF2，解得x的值，再求得y的值即可
解答：解：连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB，
∵AB=AE，∠BAC=∠EAC，∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高，
∴EG=GB，EB=2EG，BG= = = ，
设D（x，y），则有：OD2﹣OF2=AD2﹣AF2，AE2﹣AF2=BE2﹣BF2即：
82﹣x2=（2BG）2﹣（8﹣x）2，解得：x= ，y=EF= ，
∴E点的坐标为：（ ， ）．故答案为：（ ， ）．
点评：本题考查的是图形的翻折变换，涉及到勾股定理，等腰三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
三、解答题（共6小题）
21、（2011•江津区）计箅：
（1）
（2）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
考点：分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值。
分析：（1）分别根据负整数指数幂、0指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；
（3）先根据分式混合运算的法则把原式化为最简形式，再把x= 代入进行计算即可．
解答：解：（1）原式=3﹣2+2× +1=3；
（2） ，
由①得，x＞﹣2，由②得，x＜4，故原不等式组的解集为：﹣2＜x＜4，
在数轴上表示为： 
（3）原式= ÷ = × = ；
当x= 时，原式=1﹣ = ．．
点评：本题考查的是负整数幂、0指数幂及特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，熟知运算的性质是解答此题的关键．
22、（2011•江津区）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
考点：全等三角形的判定与性质。
专题：几何图形问题；证明题；数形结合。
分析：（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
解答：解：（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中， ，
∴Rt△ABE≌△Rt△CBF（HL）；
（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．
点评：此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
23、（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．
考点：一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题。
专题：综合题。
分析：（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点；
（2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点．
解答：解：（1）存在满足条件的点C；
作出图形，如图所示．
（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，﹣2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y=kx+b，
把（2，2）和（7，3）代入得： ，解得： ，
∴y=x﹣4，当y=0时，x=4，所以交点P为（4，0）．
点评：本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题．
24、（2011•江津区）在“传箴言”活动中，某党支部对全体党员在一个月内所发箴言条数情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图．
（1）求该支部党员一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；
（2）如果发了三条箴言的党员中有两位男党员，发了四条箴言的党员有两位女党员，在 发了三条箴言和四条箴言的党员中分别选出一位参加区委组织的“传箴言”活动总结会，请你用列表或树状图的方法，求出所选两位党员恰好是一男一女的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法。
专题：图表型。
分析：（1）用箴言3条的人数除以其所占百分比即可得到总人数，然后用总人数减去其他的即可得到发两条的人数，补全图象即可；
（2）将所有可能通过列表或树状图一一列举出来，找到恰好是一男一女的情况计算出概率即可．
解答：解：（1）3÷20%=15条，
∴发两条的有15﹣2﹣5﹣3﹣2=2条，
平均条数=（1×2+2×3+3×5+4×3+5×2）÷15=3条
（2）树状图：
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25、（2011•江津区）已知双曲线： 与抛物线：y=ax2+bx+c交于A（2，3）、B（m，2）、C（﹣3，n）三点．
（1）求双曲线与抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积．
考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）函数图象过某一点时，这点就满足关系式，利用待定系数法分别求出反比例函数与二次函数解析式即可；
（2）根据A，B，C三点的坐标可以得出△ADB，△BCE和梯形ADEC的面积，用梯形面积减去两三角形面积即可得到△ABC的面积．
解答：解：（1）把点A（2，3）代入 得：k=6，∴y= ，
把B（m，2）、（﹣3，n）分别代入y= 得，m=3，n=﹣2，
把A（2，3）、B（3，2）、C（﹣3，﹣2）分别代入y=ax2+bx+c得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+3；
（2）描点画图得：
S△ABC=S梯形ADEC﹣S△ADB﹣S△BCE，= （1+6）×5﹣ ×1×1﹣ ×6×4，
= ﹣ ﹣12=5．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．
26、（2011•江津区）在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB=y米，BC=x米．（注：取 π=3.14）
（1）试用含x的代数式表示y；
（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428 元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；
②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？
③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．
考点：二次函数的应用。
专题：工程问题。
分析：（1）把组合图形惊醒分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可；
（2）①利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答；
②利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论；
③建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题．
解答：解：（1）由题意得，
πy+πx=628，
∵3.14y+3.14x=628，
∴y+x=200则y=200﹣x；
（2）①W=428xy+400π +400π ，
=428x（200﹣x）+400×3.14× +400×3.14× ，
=200x2﹣40000x+12560000；
②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务．理由如下，
由①知W=200（x﹣100）2+1.056×107＞107，
所以不能；
③由题意可知：x≤ y即x≤ （200﹣x）解之得x≤80，
∴0≤x≤80，
又题意得：W=200（x﹣100）2+1.056×107=107+6.482×105，
整理得（x﹣100）2=441，
解得x1=79，x2=121（不合题意舍去），
∴只能取x=79，则y=200﹣79=121；
所以设计方案是：AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆．
点评：此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式与一元二次方程解决实际问题．
