《数学闯关赛》试读：因数分解与因式分解（一）

由此再转为数，两种情况相综合，前苏联的数竞题也就得到了完整的证明。

曾评委：很好！你请坐。下面还有谁有什么说明或补充的吗？

（沉默片刻，高选手举手）

曾评委：好！高同学，你说，或上来说。

高选手：（一边写题，一边作图，一边口述）

在老版本上海教材数学高二年级第二学期书上第95页，有这样一道例题：

例1 顺次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前4项的值，由此猜测的结果，并用数学归纳法证明。

书上有个相帮理解的图。我再表达得更充分些：

图中的小红点被淡线隔开后，可以看得很明显，其对应的个数就呈现1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…这样，当然

其实，把“点”的“形”与其个数的“数”结合起来，不仅形象好懂，更重要的，是体现一种思想方法与思维方式。比如，我们更进一步作有关运作与理解，还可有更为理想的发现：如果把数学表达中的加号略去，可怎么理解呢？即

1，121，12321，1234321，…

那不就是多项式变换式的系数吗？再把这样的系数理解为数，121=11²，是大家熟知的。比如1234321可怎么理解是相关运算的结果呢：

也就是说，1234321=1111²。与数列的项联系起来，又相当于把“数”：底数4变化为4个1连排。这又还原为相关多项式的系数。事物之间，存在这样神奇美妙的关联，使我们感到，数学是相当有趣的，数和形及其关联与规律，表明数学的潜在特征是相当丰富的，再基于此，数学就像一直说起的那样，其应用是极为广泛的。

（更为强烈持久的掌声。高同学坐下后，曾评委继续讲话）

曾评委：刚才高同学的解法与解说，表明对事物，也就是对面临的问题，深刻细致的观察、探究与思考。这也验证了这样的说法，事物与问题呈现的表象，往往存在一定的关联、特点与规律，问题就在于怎么认知，怎么发现。发现的过程看来似乎神秘，其实有时间与功夫蕴含的必然性。这也告诉我们，应该怎么学习，应该怎么不把学习视为负担。我们可看到，其实高同学的解，都是由书上的例题，也就是教材上的内容发散开去的。越是学得有条理有章法肯探究肯思考，其实就越是学得轻松学得愉悦，学有所得，乐在其中。

下面大家休息一下，10分钟以后我们继续作有关评议

用有趣的数学问题提高思考质量，用知识点的黄金交叉发现数学之美。

作者简介：梁开华

上海晋元高级中学数学高级教师，建国60年功模人物，获2012年“感动中国”最具社会影响力人物荣誉称号 点击梁开华老师的部落>>

作品简介

《挑战中学生认知与思维的数学闯关赛》是一本权威、深刻而有趣的数学启示读物，它含金量大，知识域广，有为数学界津津乐道的正交设计、黄金分割、费波那契数等经典问题，也有为高考所关注、重视的解析几何、不等式等问题，还有不少趣味十足的智力数学问题，比如拿堆、拼图等等。培养读者们更加全面的数学视角，更加犀利的思维模式，更加有效率的解决数学问题。

等我来到会议厅，曾评委已经开始讲话了。真遗憾，一道因数分解的题，居然分解不出来。那不是初中内容的知识环节吗？却难住高中生。后来我才知道，这是前苏联的竞赛题呢！只不过按其中一个数据给出而已。开会之前，我还在纠结着，应怎么做。一个个值地试，不算个解法呀。又时间快到了，还是到会议厅吧！

曾评委：这一次，有同学给出了相当漂亮的解法。我们也特地把他叫来了，就请高学生来演示他的解法。

高选手：（不紧不慢的步子走到讲台上。哇！高挑个儿，小白脸──聪明的孩子都像是这样的。）对于101010101，不妨看作。原数理解为十进位制数的一种表达。这样，因数分解由更具一般性的因式分解来解决。而且只须给出相乘的结构，也就是不要求在自然数域内分解到底。这样，就与问题分析相关。这个式子怎么分解呢？我们再变换一个问题：不知大家有没有做过这样的因式分解题：。似乎有的学校曾把它作为考试题，初中时考过。当然，做过没做过，理解与尝试的效果一定不一样。我们看，这个多项式相当工整。由此，也应该是一个相当齐整的因式结构所组成。提到因式分解，往往总认为是两个或更多个通过尤其是提取公因式等方法获得分解。两个式子相同，即分解形成为平方的样式，一般不会向这方面去思考去尝试，因此往往分解不出来。其实，由系数可感知，这个多项式实质共9项，似应分解为3项与3项相乘的结果。又由其工整性，3项的内容是等可能的。所以，