用有趣的数学问题提高思考质量，用知识点的黄金交叉发现数学之美。
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以数学闯关为主题的夏令营开幕了。那开幕式的精采对于我们一心只想着如何闯关，跃跃欲试于迎接解题考验的学子来说，看的是很投入，记些什么就算了。每一活动要看自己能不能闯过；还有主持的评委专家点评且讲解。多好的机会呀！我要借此好好学些东西，会议厅里简直有些坐不住了。终于，钟评委宣布今天的闯关活动开始了。
钟评委：请评委毛主任讲话（掌声）。
毛主任：选手们（按：这是全国各主要城市青少年的创造力，想象力，数学科学知识认知、应用力的综合能力竞技夏令营活动，也考验着挑战困难、危机等应变、机敏、刚毅多方面的气质与素养。且有多国使团参加）……
长话短说吧！开场白，题外话都不记了。我来到了自己即将走近“考场”的“选手须知”小窗口。看到两个信封，一个是开启的，一个是封粘的。大意是说，如果闯关成功，表明你答对了，未拆的信封内，是关于问题的解；你可以不再去会议厅。闯关失败的，当然得去会议厅，一方面听讲解答及相关讨论；同时还有评委会的点评以及可能更深入的讲解。开启的信封，很清楚地说明解答的具体要求，今天似乎对所需时间，给定得很严格。我猜想，第一天嘛，问题不会很难，当然用时不让拖沓。
“考场”是一个不大不小空荡荡的房间，地上有一个图案，要求你一次不重复地走完每个部位，从哪里起步，还回到那里。这不就是“一笔画”嘛！我看到的图形是（如图1-1）：
还好对付这玩艺有点灵感，我较快较顺利地从A点画──不！“走”回到A点。如图1-2，图1-3。一看时间，还没用完呢！
刚出了房间，噢哟，前面还有一间房，也就是，还有题呢！这道题是这样的（如图2-1）：
情况是复杂了些，好在端详思索片刻，还是“画”出来了。如图2-2，不超过时间就是了。
虽然这一关是过了，能画出一笔画来，也还算是运气吧！这里面肯定有一番道理。其实也还是不甚了了的。不能满足于弄对了，或再看看答案。我想还是到会议厅，看看活动继续怎么进行，评委们讲些什么吧！
会议厅里果不其然，黑压压坐满了一片，几乎没有不来的，且他们比我还积极呢！总之吧，等到了评委再次宣布开始。
钟评委：同学们，我们开始评讲这一次活动。大家做的，比我们预想的要好。也许问题不太难吧！不过，这里面能够问题解决的道理，不一定人人都明白。我们也作了一些简单的调查。有些选手对此有过比较深入的研究。下面我们是不是欢迎安同学给我们讲讲与“一笔画”相关的知识。
（鼓掌，安同学走上讲台。小伙子壮实实的，看不出是个“精明鬼”呢！）
安选手：大家好！（鞠躬）我下面尽量简单地讲一讲“一笔画”的相关知识。讲得不对的地方，欢迎各位批评指正；尤其是专家评委们，对错误的地方，讲得不好的地方给以评点。
（哟！还这么谦虚兮兮的……来不及多感慨，他已经讲开了）
首先，这“一笔画”，现实生活中有不少应用模型的。比如一个邮递员送信送报纸杂志，怎么设计线路才是最合理的呢？我们新到一个地方，希望找到某个地址，恐怕走些冤枉路是难免的。探险爱好者们，考察队员，比如要探索某个岩洞，里面通道很多，怎么避免不迷路，或少走回头路重复路呢？掌握一笔画的知识原理，显然对这些问题的解决有帮助。最老实的做法，就是用很长的绳一边走一边放，不会重复；回来也不致迷路。
（是啊！人家的认知，起点就是不同……）
我们来看一笔画，图形至少都是联通的吧？（他随手“写”了个“吕”一样的“字”还是“图”）我们看这两个框（如图3-1），怎么也不可能一笔画出吧！（上下加了“一竖”）这样呢（如图3-2）？联通起来了。而且可以一笔画了（如图3-3）。这就是所谓形成了一个“线路”。其实，图中的方框与圆圈（又画了一图如图3-4）没有本质的差别。如果我们再把“串”中的一竖线也画成圈（如图3-5），不仅还是能一笔画，且从哪里画起，还能回到起点。这就形成了一个“闭路”。
我们当下有一个时髦的词，叫做“网络”，与一笔画相关的图，也可以定义为一个“网络”。其中的线段或弧线叫做“路线”，路线的交叉点叫做“结点”。结点与结点之间，就是由连线相连接。请问（他画出了图3-6），这个图有几个结点？几条路线？
（“4个结点，8条路线”，我情不自禁叫了起来，与大家的声音响成一片。虽不完全异口同声，却听得清，不杂沓）
对！4个结点，8条路线。请问？这个图形能一笔画吗？
（这下子，和刚才不一样了。迟疑了片刻，又暴发出来：“能！”）
是的。能一笔画（他接着画出如图3-7）。那么？为什么呢？图3-5,3-6,3-7，其实都是一样的。有时，圆弧形的图看上去舒服些；有时，框架形的图看上去舒服些。注意图3-7并没有增加结点。（他在图3-7上写上字母P，用不同颜色笔涂上向四个方向的路线。如图3-8）向一个结点交汇的路线如果是偶数，像这里的点P，称之为“偶节点”，简称“偶点”。像“十字”马路口；当然奇数时即“奇点”。“五角场”5条路线；“丁字路”3条路线。图3-8有“奇点”吗？（没有）没有奇点的网络图可以一笔画。
（噢！原来是这样……）
有奇点的网络图还能一笔画吗？（他在图3-7上加了“一横”，添上字母A，B）这就增加了两个结点，且恰为奇点。这个图（3-9）我们试试看，能不能一笔画出。
（底下大家忙着试画。“能”。答声渐起）
好！时间关系，我们就不请同学上来画了。发现有什么特点呢？图-3-7没有奇点，一笔画从哪里画起，可以还回到那里；图3-9增加两个奇点，一笔画从哪里画起，却回不到那里了。比如我们从A画起，如图3-10，终点是B。可见有两个奇点的网络图是可以一笔画的。
奇点再多呢？（他逐次画出图4各图，从左到右一边画，一边讲）一个框，一个网络闭路，一条路线，注意虽然有4个顶点，却一个结点也没有。所以网络中的概念称结点，不说顶点。由A，B，两个奇点，可以一笔画。会形成3个奇点吗？作出AC，C是奇点；A已不是奇点了，但B是奇点。A、B、C、D 4个奇点；奇点只能是偶数个。由B出发兜一圈，经C，前者可以一笔画；后者同时到不了A、D。
这样，定理似的命题已经很明确了：一个联通的网络图，结点中没有奇点或两个奇点时，可以一笔画出。
（鞠躬，回到自己座位。掌声）
