多边形内角和公式推导方法

利用多边形的内角和与外角和公式解题例析
利用多边形的内角和来解决问题是我们在解题时经常遇到的，而知道多边形的外角和是多少也同样重要．在学习中我们知道任意多边形的外角和都为360°，内角和公式为（n-2）180°，利用这两个知识点可以解决多边形的内角、外角、边数及对角线等问题，现就一些例题进行一下例析．
一．求多边形的边数
例1．一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是_________.
分析：设此多边形边数为n，利用多边形内角和公式，得到（n-2）180°=900°，解得n=7，所以这个多边形的边数为7．
例2．一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是__________.
分析：设多边形边数为n，其内角和为（n-2）180°，外角和为360°，因为这个多边形内、外角和相等，可得（n-2）180°=360°解得n=4．所以这个多边形是四边形．
例3．如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是（ ）
分析：其中一种思考方法为：因为多边形的外角和为360°，而一个外角为72°，所以它的边数
为360°÷72°=5；另一种思考方法为：因为正多边形的一个外角为72°，可以得出与它相邻的内角为180°-72°=108°，因多边形的内角和为（n-2）180°，可得（n-2）180°=108°n，解这个方程得：n=5．
例4．一个多边形的内角和是外角和的4倍，求这个多边形的边数．
分析：此题可设多边形的边数为n，因为多边形内角和为（n-2）180°，多边形的外角和为360°，所以根据题意可得：（n-2）180°=360°×4，解得n=10．所以这个多边形的边数为10．
二．求多边形的内角度数
例3：正六边形每个内角的度数为_________.
分析：因为多边形的外角和为360°，所以正六边形每个外角的度数为 ,所以每个内角的度数为180°-60°=120°;此题也可利用多边形的内角和来解为 ．
三．求多边形对角线的条数
例4：一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的对角线有_______条.
分析：因为这个多边形的每个外角都是36°，所以这个多边形是正多边形．设这个正多边形的边数为n，则n= ，所以这个多边形是正十边形．因为多边形对角线的总条数为 ，所以这个多边形的对角线的条数为 ．
四．实际应用
1．某装修公司到商场买同样一种多边形的地砖平铺地面，在以下四种地砖中，你认为该公司不能
买（ ）
A 正三角形的地砖 B 正方形地砖 C 正五边形地砖 D 正六边形地砖
分析：要使买的同样一种多边形的地砖能平铺地面，则它的几个角能构成360°，因正三角形三个内角和为180°，所以它符合标准；正方形的四个内角和为360°，所以它也符合要求；而正五边形它的一个内角为108°，360°不能被108°整除，所以正五边形不符合要求；用同样的道理可知正六边形符合要求．所以此题选C．
同学们通过以上分析，相信你对于有关利用三角形内角和与外角和进行解题的题型已经掌握得很好了，相信自己一定能行！