第十三章：圆
知识点：
一、圆
圆的有关性质：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。
由圆的意义可知：
圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。
就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。
能够重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆
1、过三点的圆
过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心
定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
2、反证法
反证法的三个步骤：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。
证明：设有两个以上是钝角
则两个钝角之和＞180°
与三角形内角和等于180°矛盾。
∴不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。
三、垂直于弦的直径
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。
推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
五、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。
六、圆的内接四边形
多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
例如图6—1，
连EF后，可得：
∠DEF＝∠B
∠DEF＋∠A＝180°
∴∠A＋∠B＝18ry
∴BC∥DA
七、直线和圆的位置关系
1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线。
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。
直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。
2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
直线和圆相交 d＜r；直线和圆相切 d＝r；直线和圆相离 d＞r；直线和圆相交 d＜r
例如：图6－2中，直线与圆O相割，有：r＞d
图6－3中，直线与圆O相切，r＝d
图6－4中，直线与圆O相离，r＜d
八、切线的判定和性质
切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。
推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
例如图6－5中，O为圆心，AC是切线，D为切点。
∠B＝90°
则有BC是切线
OD是半径
OD⊥AC
九、三角形的内切圆
要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切。
∵分角线上的点到角的两边距离相等。
∴两条分角线的交点就是圆心。
这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。
和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。
十、切线长定理
经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图6－6，B、C为切点，O为圆心。
AB＝AC，∠1＝∠2
十一、弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。
弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。
推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
例如图6－7，AB为切线，
则有：∠C＝∠BAE，∠BAE＝∠D
∴∠C＝∠D
十二、和圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
十三、圆和圆的位置关系如图6－9
若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则：
1、两圆外离 d ＞R＋r；
2、两圆外切 d = R＋r；
3、两圆相交 R－r＜d＜R＋r（R＞r）
4、两圆内切 d = R－r；（R＞r）
5、两圆内含 d＜R－r。（R＞r）
定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。
如图6－10，
为圆心，
则有：
，且AB被
平分
十四、两圆的公切线
和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。
如图6－11，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长。
内外公切线中的重要直角三角形，
十五、相切在作图中的应用
生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14
十六、正多边形和圆
各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
定理：把圆分成n（n＞3）等分：
（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。
正n边形的每个中心角等于
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。
十七、正多边形的有关计算
正n边形的每个内角都等于
定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。
十八、画正多边形
1、用量角器等分圆
2、用尺规等分圆
正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。
正五边形的近似作法；
二十、圆周长、弧长
二十一、圆扇形，弓形的面积
1、圆面积：
2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积
的计算公式为：
注意：因为扇形的弧长
。所以扇形的面积公式又可写为：
3、弓形的面积
由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。
二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图
1、圆柱的侧面展开图
圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。（图6一16）
AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD， C’D’，…都叫圆柱的母线。
圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。
圆柱的两个底面是平行的。
圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。
∴S侧面=2πRh
圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R
R是圆柱底半径，h是圆柱的高。见图6－18
2、圆锥的侧面展开图
圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。
如图6－19，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。
旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。
连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。
圆锥的侧面展开图如图6一20是一个扇形SAB半径是母线长，AB是
。（底面的周长），所以圆锥侧面积为
例题：
例1、如图7.2-1，AB是⊙O的直径，AD⊥CD，BC⊥CD，且AD+BC=AB，
1、求证：⊙O与CD相切；
2、若CD=3，求AD·BC
[特色]本题来源于教材，主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识。
[解答](1)过O点作OE⊥CD于E。
例2、如图7.1-2。已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm，则OD=_______
[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题。
[解答]由三角形的中位线定理知OD= BC
例3、如图7.3-1⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于（ ）
[特色]本题考查内心的性质
[解答] 过点O半径OE，则OE∥CD,AE∶AC=OE∶CD，设半径为R，则（4-R）∶4=R∶1，解之得R=
，选A。
例4、圆内接四边形ABCD，∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是_______
[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算。
[解答]设A=x，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180 ，∴x+3x=180 ，∴ x=45
∴∠A=45 ，∠ B=90 ，∠C=135 ，∠ D=90
∴ 最大角为135
例5、如图7.5-1，
和
外切于点C，直线AB分别外切
于A，
于B，的半径为1，AB=
，则的半径是______
[特色]以上各题都是圆与圆的位置关系中常见的基本题型，着眼于考查学生对两圆的位置关系的理解及运用.
例6、将两边长分别为4cm和6cm的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得圆柱的表面积为_______
[特色]考查圆柱的表面积的计算，着眼于考查学生思维的全面性.
[解答]以边长为4cm作母线所得到的圆柱的表面积为80
；以边长为6cm作母线所得到的圆柱的表面积为120 。
例7、如图，正六边形内接于半径为1的圆，其中阴影部分的面积________
[特色]考查学生对基本概念的理解以及基本运算能力。
[解答] 答案：
作半径，用扇形的面积减去三角形的面积。
