余数、同余与周期

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod  m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：a≡a(mod  m)；

②对称性：若a≡b(mod  m)，则b≡a(mod  m)；

③传递性：若a≡b(mod  m)，b≡c(mod  m)，则a≡c(mod  m)；

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a≡b(mod  m)，c≡d(mod  m)，则a×c≡b×d(mod  m)；

⑥乘方性：若a≡b(mod  m)，则aⁿ≡bⁿ(mod  m)；

⑦同倍性:若a≡b(mod m)，整数c，则a×c≡b×c(mod  m×c)；

三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则M^A=M^a×b=（M^a）^b

②若B=c+d则M^B=M^c+d=M^c×M^d

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则a^p-1≡1(mod p)。