1.一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问：

①这个长方形的面积有多少可能值?

②面积最大的长方形的长和宽是多少?

2.有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数?

3.三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个?如(1，2，12)就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如(1，2，12)和(2，12，1)是同一数组.

4.小虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小虎错装的情况共有多少种可能?

5.一个学生假期往A、B、C三个城市游览.他今天在这个城市，明天就到另一个城市.假如他第一天在A市，第五天又回到A市.问他的游览路线共有几种不同的方案?

6.下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点.行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法?

7.小明有一套黄色数字卡片、、，有一套蓝色数字卡片、、.一天他偶然用卡片做了下面的游戏：把不同色的卡片交叉配对，一次配成3对，然后把每对卡片上的黄蓝数字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少种配对相乘求和的方式吗?比如说下面是其中一种：

黄 蓝 黄 蓝 黄 蓝

8.五个学生友1，友2，友3，友4，友5一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处.分手时友1带头开了个玩笑，他把友2小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式?

习题解答

1.解：这个长方形的长和宽之和是22÷2=11(米)，由长方形的面积=长×宽，可知：

由上表可见面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是30平方米.

猜想：由本讲的例1和习题1这两题来看，周长一定的所有长方形中，长和宽相等或相近那个长方形面积最大.这是有名的“等周问题”的特例.

2.解：把各种不同的组合及其对应的钱数列表枚举如下：

数一数可知，能组成15种不同的钱数.注意它们是从1到15的15个自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15.

3.解：不计数组中数的顺序，所有乘积为24的三个数所组成的数组共有6组，枚举如下：

(1，1，24)，(1，2，12)，(1，3，8)，

(1，4，6)，(2，2，6)，(2，3，4).

4.解：把三封信编号为1号、2号、3号;

把三个小朋友编号为友1、友2、友3;1号、2号、3号信应该分别发给友1、友2、友3。

按题意，友1没有收到给自己的1号信，他只可能收到2号或3号信.

当友1收到2号信时，友2只可能收到3号信，则友3收到1号信;

当友1收到3号信时，友2只可能收到1号信，则友3收到2号信.

可见共有2种可能的错装情况，列表更为清楚，

5.解：请看下面的树形图.

可见他第五天回到A市的不同游览路线共有6种，分别是：

①A→B→A→B→A ④A→C→A→B→A

②A→B→A→C→A ⑤A→C→A→C→A

③A→B→C→B→A ⑥A→C→B→C→A.

6.解：经过E点的有3条路线，不经过E点的有2条路线，共有5条不同的路线，见下图.

7.解：可以按下面的方法找出所有不同的配对相乘求和方式：

可见共有6种不同的配对相乘求和方式，其中第①种情况(可叫做同序配对)各乘积之和最大，第⑥种情况(可叫做逆序配对)各乘积之和最小.

如果你感兴趣，可以进一步问，这个结果有普遍性吗?我们再进一步探讨一下：

结果和上述相同.

2.假如黄蓝卡片各有4张，不同的配对方式有很多.

(4×3×2×1=24种，这点同学们以后就会明白!)

我们找几种情况试一试：

①同序配对：

②逆序配对

③交叉配对

交叉配对

交叉配对

可见：同序配对，各乘积之和最大：30

逆序配对，各乘积之和最小：20

交叉配对，各乘积之和居中：大于20小于30.

猜想：两个项数相同的数列配对相乘积之和，同序配对时最大，逆序配对时最小，交叉配对时在最小值和最大值之间.

8.解：设友1、友2、友3、友4、友5的书包分别是1号、2号、3号、4号、5号.因为友1拿了2号书包，那么友2就有拿1号、3号、4号和5号书包的四种可能.如果友2拿了1号书包，友3拿了4号书包，友4拿了5号书包，友5拿了3号书包，这就是一种错拿方式.其他方式看如下的树形图.

数一数，共有11种不同的错拿方式.