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同学，你好


1、言い出した，原形是【言い出す】
（1）开始说。〔話し始める。〕
だれがそんなデマを言い出したのか。／是谁造出那种谣言来的。
彼はちょっと考えてまた言い出した。／他考虑了一下又说了起来。
（2）说出口。〔口にする。〕
彼はいったん言い出したら絶対に後へひかない。／他一旦说出口就绝不退让。
ちょっと言い出しかねた。／有点不便说出口来。

这里就理解为第二种含义，孩子说出口来，说想学钢琴。

2、私は~~と思っている。这是句子的主干部分。
子供がしたいと思う。这里是小句。小句主语是小孩，小孩想的做的~
こと-事情
やらせてやりたい---想让（小孩）做 ，这是【私】想做的事情。

动词基本形是：やる，意思是：做、干、弄等。这里使用的是它的使役态【やらせる】。
这句话中的~てやりたい 的原形是 てやる ，是表示动作的授受关系。
动词て形+やる，表示说话人（或说话人一方的人）为身份比自己低的人或动物做某事，进行某动作或行为。
如：
わたしは弟に日本語を教えてやります。我给弟弟教日语。

文中用了 てやる+たい=てやりたい，表示想给某人做……。
～たい，语法点。表示第一人称想……。疑问句可以用于第二人称。前接动词ます形去掉ます。
如：
行く＋たい＝行きたい 想去。
買う＋たい＝買いたい 想买。
勉強する＋たい＝勉強したい 想学习。
例句：
わたしは日本に行きたいです。我想去日本。

句意：我觉得   孩子想要做的事情    就应该让他去做。

如果还有疑问请在追问框提出～祝同学学习愉快～