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同学你好啊~

前半句是：
　友人に「どうしても」と頼まれて引き受けた塾講師の仕事だったが、

「が」用来表示前半句和后半句是转折关系。
这样看，前半句是一个以“名词”为谓语的句子，「塾講師の仕事」是句子的谓语，后接「だ」的过去形式「だった」结句。

前边的
　友人に「どうしても」と頼まれて引き受けた
是谓语名词「塾講師の仕事」的定语从句。

这个定语从句可以再分为两个子句，分别是：
　（わたしが）友人に「どうしても」と頼まれる
　（わたしが）引き受けた
因为两个子句要合并为一个句子，所以把前一子句的谓语「頼まれる」改成“て形”「頼まれて」进行中顿。

所以，同学认为的“谓语放后面”是正确的，这里的所有谓语都在最后，只不过是在各自句子中的最后哈。

同学如果还有不明白的地方可以在【追问】这告诉助助哈~
祝同学学习愉快啦~