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同学你好，
put on an act of doing是一个习语，表示装模作样、装腔作势等。
这句话意思是他装作忙于工作，来逃避见我。
of后面也是一个短语，be busy doing忙于做某事。由于of后面接ing形式，因此整个短语变成了：
of being busy working
to avoid seeing me是to do结构表示目的。
avoid doing sth也是短语，表示避免做某事。

of being mildly annyoyed表示他假装有点生气/恼怒。
mildly 轻微地；稍微地
祝学习愉快