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同学你好

不可以的，

「ないで」表示的保持某种状态，
而「なくて」是「ない」的中顿形式，
两种使用方法是不一样的哦。

比如说
父は週末にも休まないでずっと仕事をしています。／父亲一直在工作（并且是周末都不休息在工作的状态）

息子は何も食べなくて、心配だ。/ 儿子什么都不吃，很担心。（这里是用【て形】并列了两个动作，儿子什么都不吃，妈妈很担心）

上图例句中「何もしないでのんびりするつもりです」这里想表达的是【保持什么都不做的状态来放松一下】。如果换成「なくて」的话就变成两个动作并列，【既什么都不做，又打算放松】的意思了，这样和句子想表达的意思就偏离了，不是很适合。

祝同学学习愉快。