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同学你好~
's是所有格，assistant's这里加所有格，表示counting这个动名词的逻辑主语，也就是counting这个动作的发出者。

动名词的逻辑主语
一、什么叫逻辑主语
由于动名词属于非谓语动词，不单独用作谓语，所以它没有实际意义上的主语。但是，有时由于句子意思的需要，动名词也可带有自己的主语，以表明动作的执行者是谁，这个具体表明动作执行者的主语，就叫动名词的逻辑主语。比较：
I hate smoking. 我讨厌吸烟。
I hate my husband smoking. 我讨厌我丈夫吸烟。
第一句中的动名词smoking没有逻辑主语，它是泛指的，句子的实际意思是“我讨厌任何人吸烟”；第二句中的动名词smoking带了自己的逻辑主语my husband，限定了smoking的执行者。

二、逻辑主语的表现形式
动名词的逻辑主语可以有多种表现形式，主要有以下几种情况：
1. 动词用作主语时：如果动名词在句子中用作主语，则动名词的逻辑主语通常应是名词所有格或形容词性物主代词。如：
Mary's going there is of no help. 玛丽去那儿没什么帮助。
His coming late made the teacher angry. 他迟到使老师生气了。
这两句中的动名词Mary's going和his coming均在句中用作主语，其中的动名词的逻辑主语分别是Mary和he。
2. 动词用作宾语时：如果动名词在句子中用作宾语，则动名词的逻辑主语可以是名词所有格或者形容词性物主代词，也可以是名词或人称代词的宾格。如：
Pardon my [me] interrupting you. 请原谅我打断你的话。
She can't bear her husband('s) staying up so late. 她丈夫睡得很晚，她受不了。

祝同学学习进步~