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同学你好~
这个句子中不含 be proud of 这个结构。

became是系动词，the proud owner of a bed 是名词短语作表语，和 became 构成系表结构。

这个句子的结构如下：
...he【主语】 became【系动词】 the proud owner of a bed【表语】.

proud 是形容词，意思是：骄傲的，得意的，the 是定冠词，the proud 是 owner 的定语
the proud owner of… 意思是：……的骄傲的主人，可以翻译为：为拥有……而骄傲的人，得意洋洋的主人

直译的话，这个句子的意思是：他成为这张床的很自豪的拥有者。

这句话可以翻译为：他得意洋洋地成为一个床主人，他成为一个为拥有一张床而骄傲的人。

又如：
the proud owner of a new car
得意洋洋的新汽车主人
He became the proud owner of a luxury yacht and a French chateau.
他骄傲地成为一艘豪华游艇和法国城堡的主人。

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