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同学好：
题目的句子中，both of whom are doctors 是定语从句；whom 指代先行词two sons。
如果用them，应该写成：The old man has two sons. Both of them are doctors.
即，如果用them，这两个句子是分别独立的，没有从属关系，要各自成句。如果用whom，both of whom ... 是定语从句，从属于主句，整个是一个句子。

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