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同学你好~

这里不是单独的“まい”，而是句型“てしまう”的ます型。

【~てしまう】 ，表示彻底完了，动作的全部结束。有时表示无可挽回，感到后悔、遗憾等心情。
如：
この本はもう読んでしまいました。这本书已经全部读完了。
宿題を忘れてしまいました。忘了写作业了。
あの人は交通事故で死んでしまいました。他因交通事故去世了。

也有这样的用法：
試験が終わった。今日は飲んでしまおう。
考试结束了，今天咱们痛快地喝个够吧！

而这里“眠ってしまいそうになった”则是：
「てしまいそうだ」表示列举极端的例子。
例如：
一度にいくつも問題が起きて、頭が爆発してしまいそうだ。／一下子出了好几个问题，我脑袋都要炸了。

句子意思是：
昨天，因为天气很好去公园了。春天的阳光很暖和，风吹着很舒服，一坐到长椅上，不知不觉就要睡着了（太舒服了简直让人想睡觉）。

希望以上解答可以帮到同学，若对助助的回复有疑问，请同学在【追问】框中提出哦。
祝同学学习愉快哦~｡◕‿◕｡