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作三角代换，令x=tant，则√(1+x^2)=sect
那么
∫√(1+x^2)dx
=∫sect dtant
=sect *tant -∫tantdsect
=sect *tant -∫(tant)^2sectdt
=sect *tant -∫ [(sect)^2-1)] *sectdt
=sect *tant +∫sectdt -∫(sect)^3dt
=sect *tant+ln|sect+tant| -∫(sect)^3dt
=sect *tant+ln|sect+tant| - ∫sect dtant
所以∫sect dtant = 1/2(sect *tant+ln|sect+tant| )+C
这时代回x=tant和√(1+x^2)=sect
于是
∫√(1+x^2)dx=0.5x* √(1+x^2) + 0.5ln[x+√(1+x^2)]+C
再代入上限2π和下限0，
得到
原定积分
=π* √(1+π^2) + 0.5ln[2π+√(1+4π^2)]