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同学你好~

这里涉及到了文言的助动词。
“ず”是文言用法，但是在现代也经常使用。前面要接未然形（也就是动词变否定时候的形式）。
【ずに＝ないで】
例如：
手を洗わずに、ご饭を食べた。没洗手就吃饭了。

这里就是：ずにおこう=ないでおこう。

「～ておく」这个句型中的动词「おく」，它的意志形变形就是「おこう」。

ておく：准备体，表示做好准备。 ておこう：变成了意志形。
动词连用形后续「ておく」构成动词准备体。可以有3个意思：

（１）〔使某种状态持续下去〕……着;放在;使……．
¶電灯をつけておこう/开着灯吧．

（２）〔为了某个目的事先做好某种准备〕先．
¶部屋を掃除して～/先把房间打扫好．  
¶ともかくも聞いておこう/不管怎样,先听一下（他的意见）．

（３）姑且,暂且．
¶そのことは一応考えて～/那件事情我姑且考虑一下．
¶名前はAとしておこう/名字就（先）假定为A吧．

这里就是（3）的用法，姑且不要告诉任何人吧。

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