1．钟声

　　小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下。

　　假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟？

　　分析与解 从第一下钟声响起，到敲响第6下共有5个“延时”、 5个“间隔”，共计（3+1）×5=20秒。当第6下敲响后，小明要判断是否清晨6点，他一定要等到“延时3秒”和“间隔1秒”都结束后而没有第7下敲响，才能判断出确是清晨6点。因此，答案应是：

　　（3＋1）×6=24（秒）。

2．越减越多

　　同学们对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去1个角，还剩几个角？”这种题的最大特点是答案不唯一，要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。

　　以下3幅示意图，表明了3种不同情况的3种不同答案。其中第3种情况最有趣，长方形原有4个角，切去了1个角，反而多了1个角，出现了越减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题类似，看你能否正确回答。

　　图13

　　“一个正方体，锯掉一个角，还剩几个角？”请注意，这里的“角”是立体的“角”，它不同于平面上的角。

　　分析与解 锯掉角的情况有4种，因此剩角的答案也有4种（如14图所示）。

　　图14

3．数一数

　　如果有人问你“会数数儿吗？”，你会不屑一顾地说：“这么大了，还不会数数儿！”其实，数数儿的学问还是很大的。不信，请你数出下面几何图形的个数。

　　图15

　　分析与解 图（1）中：边长1个单位的三角形有12个；边长2个单位的三角形有6个，边长3个单位的三角形有2个。

　　一共有三角形20个。

　　图（2）中：先按公式，计算出边长8个单位的大正方形中，共有（12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82）=204个正方形；然后再分别计算左、右两侧各多出的一部分构成13×2=26个正方形；最后计算出共有大、小不同的正方形 204＋26=230个。

　　图（3）中：共有长方形（1+2＋3+ 4＋5）×（1+2+3＋4）= 15×10=150（个）。

　　图（4）中：共有梯形（1＋2+3+4+5）×（1+2+3）=15×6=90（个）。

4．画一画

　　下面这些图形你能一笔画出来吗？（不重复画）

　　图16

　　分析与解 一笔画需要解决两个关键问题。一个是这幅图能不能一笔画？另一个是，若能一笔画，应该怎样画？对于这两个问题，数学家欧拉在1736年研究了“哥尼斯堡七桥”的问题后，做了相当出色的回答。他指出，如果一幅图是由点和线连接组成，那么与奇数条线相连的点叫“奇点”；与偶数条线相连的点叫“偶点”。

　　例如，在图17中，B为奇点，A和C为偶点。

　　图17

　　如果一幅图的奇点的个数是0或是2，这幅图可以一笔画，否则不能一笔画。这是对第一个问题的回答。欧拉又告诉我们，如果一幅图中的点全是偶点，那么，你可以从任意一个点开始画，最后还回到这一点；如果图中只有两个奇点，那么必须从一个奇点开始画，并结束于另一个奇点。

　　本题的4幅图，其中图（1）、（4）各有两个奇点，图（2）、（3）的奇点个数为0。因此这4幅图都可一笔画。画法请参看图

　　图18

5．最短的路线

　　养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼（如下图）。

　　为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又不能漏掉一个貂笼，喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗？并算出每喂食一次，至少要走多少米的路。

　　分析与解 要给9个貂笼的貂分别喂食，最短的路线不止一条。我们只给出其中的一种如图20所示。

　　我们选择这条路线的根据是：（1）尽量多走3米长的貂笼间隔，少走4米长的貂笼间隔；（2）根据勾股定理，第⑨步走斜边（长5米，这是因为52=32＋42）比走两条直角边（3＋4=7米）要少走2米。

　　他每喂食一次，至少要走

　　3×5＋4×3+5=32（米）。

　　图20

12．哪个分数大？

分析与解

　　

　　的倒数3小。就普遍的情况而言，一个分数的倒数大，这个分数反而小。这样，要比较这三个分数的大小，只要比较它们的倒数就可以了。

 

13．想办法巧算

　　

　　分析与解 计算这道题要是先通分再加，那实在是太困难了。我们可以把这样的分数拆开。

　　　

　　　　　

14．从1到100万

　　大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。

　　传说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2＋3+……+99+10O的和是多少？

　　老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这100个数的和是5050。

　　原来，小高斯是这样算的：依次把这100个数的头和尾都加起来，即 1＋100，2＋99，3＋98，……，50＋51，共50对，每对都是 101，总和就是 101×50=5050。

　　现在请你算一道题：从1到1000000这100万个数的数字之和是多少？

　　注意：这里说的“100万个数的数字之和”，不是“这100万个数之和”。例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2＋3＋4+5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1+1+1+2=51。

　　请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发。

　　分析与解 可以在这100万个数前面加一个“0”，再把这些数两两分组：

　　999999和 0 999998和 1

　　999997和 2 999996和 3

　　依此类推，一共可分为50万组，最后剩下1000000这个数不成对。

　　各组数的数字之和都是9＋9＋9＋9＋9＋9=54，最后的1000000数字之和是1。

　　所以这100万个数的数字之和为：

　　（54×500000）+1=27000001

15.求数列的和

　　你能用巧妙的方法，求出下列算式的结果吗？注意，高斯求和的方法在这里用不上。

　　　

　　分析与解 这是两道求数列和的计算题。巧算的方法与第13题类似，要根据每个数列中各个数的特点，进行“拆分”，使拆分成的新数列的中间部分互相抵消，从而达到“巧”算的目的。

　　　　

　　　　　

16．不必大乘大除 　　下面这道计算题，按一般运算法则计算是很麻烦的。如果你能发现数字的特点，采用巧算，则这道题将变得很容易。请你不要用纸和笔，用脑子想一想，就得出答案，行吗？（限10秒钟） 　 　　分析与解 根据分母的数字特点，可用如下方法计算：

17．猜猜是几？

　　一个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的1.5倍，正着看是倒

　　分析与解 这个三位数是666。其实，只要你稍加思索，就可以想出来了。这道题如果要求找一个一位数，那就是6；找一个两位数，则是66；找一个四位数，则是6666，……，依此类推。

18．完全数

　　如果整数a能被b整除，那么b就叫做a的一个因数。例如，1、2、3、4、6都是12的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和，这种数叫做完全数。例如，6就是最小的一个完全数，因为除6以外的6的因数是1、2、3，而6=1+2＋3。

　　你能在20至30之间找出第二个完全数吗？

　　分析与解 20至30之间的完全数是28。因为除28以外的28的因数是1、2、4、7、14，而28=1＋2＋4＋7＋14。

　　寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了23个完全数。第三、四个完全数是：

　　496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248

　　8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064

　　奇怪的是，已发现的23个完全数是偶数，会不会有奇完全数存在呢？至今无人能回答。完全数问题还是一个没有解决的问题。

19．有这样的数吗？

　　小明异想天开地提出：“世界上应该存在这样两个数，它们的积与它们的差相等。”他的话音刚落，就引起了同学们的哄堂大笑，大家都觉得这是不可能的。但是，世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法，后来竟被同学们讨论证实了。

　　你能找到这样的两个数吗？告诉你，这样的数还不止一对呢！

　　分析与解 下面举出几个两数的积等于两数的差的实例：

　　

　

　　同学们，你可再试着找一些。

20．两数的积与两数的和能相等吗？

　　数学课上，小明偶然发现2×2=2+2。下课后，小明问王老师：“2×2=2+2，这样两数的积等于两数的和的情况，还有吗？”王老师听后很高兴地拍着小明肩膀说：“你能在数学学习中敏锐地发现问题，提出问题，这是很宝贵的，希望你能保持这个优点。你提的问题在数学中不是偶然的现象，

　　这三个数的和，四个数的积等于这四个数的和，五个数的积等于这五个数的和。这些现象近似于数学游戏，有兴趣，你回去仔细想想，一定会找到答案的。明天我们一起交换看法好吗？”小明听后高兴地接受了老师的建议。

　　同学们，你们能找出这样的数吗？

　分析与解 下面是部分例子。

　　两数积=两数和：

　　11×1.1=11+1.1

　　

　　……

　　三数积=三数和：

　　1×2×3=1＋2＋3

　　四数积=四数和：

　　1×1×2×4=1+1＋2＋4

　　五数积=五数和：

　　1×1×1×2×5=1+1+1+2+5

　　1×1×1×3×3=1+1+1+3+3

　　1×1×2×2×2=1+1+2+2+2

　　其中，有关两数积=两数和的例子，可以找出无数组，请再找出一些。

　　

21．老路行不通

　　五年级的时候，我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分面积的方法。但下面这道题却无法用习惯的方法解答，需要另辟蹊径。这条要走的“新路”所依靠的知识，仍然是最基本的：如果几个三角形的底和高都相等，那么它们的面积也相等。

　　图7

　　已知：在△ABC中，BC=5BD，AC=4EC，DG=GS=SE，AF=FG。

　　求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几？

　分析与解 这道题看起来很像一道中学较复杂的几何求解题。其实，只需要一些小学最基本的数学知识就可以解答了。

 

　分析与解 按一般的解题规律，要求面积，首先得确定所求的是什么图形，或是由什么图形组合而成。而本题构成阴影部分的图形，却是个不规则的图形。但仔细观察，就能发现阴影部分是由两部分组成的：下面是一个小

　　可得到以下解法：

23．一筐苹果

　　入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时，发现这筐苹果2个、2个地数，余1个；3个、3个地数，余2个；4个、4个地数，余3个；5个、5个地数，余4个；6个、6个地数，余5个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？

　　分析与解 根据题目条件，可以知道，这筐苹果的个数加1，就恰好是2、3、4、5、6的公倍数。而题目要求“至少有多少个”，所以，苹果的个数应该是2、3、4、5、6的最小公倍数减去1。

　　[2，3，4，5，6]=60

　　60-1=59

　　即这筐苹果至少有59个。

24．怎样分？

　　有44枚棋子，要分装在1O个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相同，应该怎样分？

　　分析与解 无法分。

25.不要急于动手

　　左图是一个正方形，被分成6横行，6纵列。在每个方格中，可任意填入1、2、3中的一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相同，这可能吗？为什么？

　　分析与解 不可能。

　　这是因为每行、每列和两条对角线都是由6个方格组成的，那么数字之和最小是1×6=6，数字之和最大是3×6=18。要想使各行、各列及对角线上的数字之和各不相同，只能出现6、7、8、9、……、17、18这13种数字和，但实际却需要6（行）＋6（列）＋2（对角线）=14种不同的数字和。

　　由此可知，要达到每行、每列及两条对角线上的数字和各不相同是不可能的。

26．数字小魔术

　　新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微笑着走到讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写上任意4个自然数（不重复写），我保证能从你们写的4个数中，找出两个数，它们的差能被3整除。”

　　王老师的话音一落，同学们就活跃起来。有的同学还说：“我写的数最调皮，就不听王老师的话。”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学们一个个念起自己写的4个数时，奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能被3整除的两个数。

　　同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？

　　分析与解 其实，同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话，而是听数学规律的话。

　　因为任意一个自然数被3除，余数只能有3种可能，即余0、余1、余2。如果把自然数按被3除后的余数分类，只能分为3类，而王老师让同学们在纸条上写的却是4个数，那么必有两个数的余数相同。余数相同的两个数相减（以大减小）所得的差，当然能被3整除。

　　王老师是根据数学基本性质设计小魔术的。所以，只要我们刻苦学习数学，掌握规律，也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹。

27．应该怎样称？

　　有9个外观完全相同的小球，其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你用一架天平去称，问你至少称几次，才能找出较轻的球？

　　如果是27个球、81个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能找出那个较轻的球吗？这里有规律吗？

　　分析与解 9个球，至少称两次就可以找到那个较轻的球。

　　第一次：天平两侧各放3个球。

　　如果天平平衡，说明较轻的球在下面；如果不平衡，那么抬起一侧的3个球中必有轻球。

　　第二次：从含有轻球的3个球中任选两个，分别放在天平两侧。如果平衡，下面的球是轻的；如果不平衡，抬起一侧的球是轻的。

　　如果是27个球，至少需要称3次。

　　第一次：天平两侧各放9个球。

　　如果平衡，说明轻球在下面9个中；如果不平衡，抬起一侧的9个球中含有轻球。

　　第二次、第三次与前面所说9个球的称法相同。

　　在这种用天平确定轻球（或重球）的智力题中，球的总个数与至少称的次数之间的关系是：若3n＜球的总个数≤3n+1，则（n+1）即为至少称的次数。

　　例如，设有25个球，因为32＜25＜33，所以至少称3次；

　　设有81个球，因为33＜81=34，所以至少称4次。

28．最少拿几次？

　　晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题，看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着：这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿1个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的？”

　　听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？

　　分析与解 至少拿7次，才能保证其中有3个棋子同一颜色。

　　我们可以这样想：按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样，但从第4次开始，将有2个棋子是同一颜色。到第6次，三种颜色的棋子各有2个。当第7次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的6个棋子中必有2个与它同色，即出现3个棋子同一颜色的现象。

　　同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？如果要求有4个棋子同一颜色，至少要拿几次？如果要求5个棋子的颜色相同呢？

29．巧手摆花坛

　　学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时，大队部在花坛旁挂出一块小黑板，上面写着：

　　“各中队少先队员：

　　花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出下面两道题，就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。

　　① 要在这个花坛的四周摆上16盆麦冬，要求每边都是7盆，应该怎样摆？

　　② 还要在这个花坛四周摆上24盆串红，要求每边也是7盆，应该怎样摆？”

　　同学们，你会摆吗？请你试试看。

　　分析与解 答案如下图：

　　图29

　　　　

33．谁得优秀？

　　六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。加试后，甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：

　　甲说：“如果我得优，那么乙也得优。”

　　乙说：“如果我得优，那么丙也得优。”

　　丙说：“如果我得优，那么丁也得优。”

　　以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。问这四人中谁得优秀？

　　分析与解 我们可以这样想：如果甲得优秀，那么乙、丙、丁都得优秀，这与实际不符；如果乙得优秀，则丙、丁也得优秀，也与实际不符。因此，只能丙、丁得优秀，才符合实际情况。

　　判断结果是：丙、丁得优秀。

34．排名次

　　学校举办排球比赛，进入决赛的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、六（2）班的代表队，到底谁得第一，谁得第二，谁得第三，谁得第四呢？

　　甲、乙、丙三人做如下的猜测：

　　甲说：“五（1）班第一，五（2）班第二。”

　　乙说：“六（1）班第二，六（2）班第四。”

　　丙说：“六（2）班第三，五（1）班第二。”

　　比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了一半。你能根据上面情况排出1～4名的名次吗？
　分析与解 这类题用列表法进行推理比较简捷。

35． 要赛多少盘？

　　六年级举行中国象棋比赛，共有12人报名参加比赛。根据比赛规则，每个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？

　　分析与解 一共要赛66盘。

　　要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。

　　假如2个人（A、B）参赛，那只赛1盘就可以了；假如3个人（A、B、C）参赛，那么A—B、A—C、B—C要赛3盘；假如4个人参赛，要赛6盘，……

　　于是我们可以发现：

　　2人参赛，要赛1盘，即1；

　　3人参赛，要赛3盘，即1+2；

　　4个参赛，要赛6盘，即1+2+3；

　　5人参赛，要赛10盘，即1+2+3+4；

　　……

　　那么，12人参赛就要赛1+2+3+……+11=66盘。

　　我们还可以这样想：

　　这12个人，每个人都要与另外11个人各赛1盘，共11×12=132（盘），但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次，（如A—B赛一盘，B—A又算了一盘）,所以实际一共要赛132÷2=66（盘)。

 

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